C/C++之 RSA算法

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概述
RSA算法是一种广泛应用于数据加密与解密的非对称加密算法。它由三位数学家（Rivest、Shamir和Adleman）在1977年提出，因此得名。RSA算法的核心原理是基于大素数的数学问题的难解性，利用两个密钥来完成加密和解密操作。
, X  l* V0 M* H! q. {7 N. [特点
RSA算法的特点如下：
% N! }6 U$ F% c& w0 d* N3 y* }  T非对称性：RSA算法使用一对公钥和私钥，其中公钥用于加密，私钥用于解密。这种非对称性使得通信双方可以安全地交换信息，而不需要共享密钥。
$ ^2 e2 m8 m9 ?* l& a' n8 P& `; v安全性：RSA的安全性基于大素数的难解性，即大整数分解问题。目前尚无有效的算法能够在合理的时间内分解大素数，因此RSA算法被认为是安全的。
: V. V# k9 e( z# h/ Q9 Y; x1 A适用性广泛：RSA算法广泛用于数字签名、数据加密、密钥交换等领域，被广泛应用于网络通信、电子商务等场景。
# K. X8 B# Z  H5 ?+ h1 H效率相对较低：由于涉及大数运算，RSA算法相对于对称加密算法而言，加解密速度较慢。因此，通常仅用于加密短文本或用于安全交换对称密钥。
原理
RSA算法的核心原理基于以下数学概念：
- t: P% X3 I4 R6 b9 Y选择两个大素数：选择两个足够大的不同素数p和q。
计算n和Φ(n)：计算n = p * q 和Φ(n) = (p-1) * (q-1)。
% \9 \4 M/ h, l" |选择公钥和私钥：选择一个公钥e，满足1 < e < Φ(n)，且e与Φ(n)互质。然后，计算私钥d，满足d * e ≡ 1 (mod Φ(n))。
0 L' {2 K2 O4 J* h+ X% H加密：使用公钥(e, n)对明文进行加密，得到密文c = m^e (mod n)，其中m为明文。
解密：使用私钥(d, n)对密文进行解密，得到明文m = c^d (mod n)。
5 j$ ]: n4 }2 O8 KC语言实现RSA算法
, w: i3 k- R% b3 N以下是一个简单的C语言实现RSA算法的示例代码。请注意，这只是一个基本的示例，实际应用中需要考虑更多的安全性和性能优化。
2 a" L8 F# T  ]# @  K5 j' q- x$ a: k

复制代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
// 欧几里得算法求最大公约数
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}
// 计算模反函数
int mod_inverse(int e, int phi) {
    int d;
    for (d = 2; d < phi; d++) {
        if ((e * d) % phi == 1) {
            return d;
        }
    }
    return -1; // 如果找不到模反函数
}
int main() {
    int p = 61;
    int q = 53;
    int n = p * q;
    int phi = (p - 1) * (q - 1);
    int e = 17; // 选择一个合适的公钥
    int d = mod_inverse(e, phi); // 计算私钥
    int plaintext = 42;
    int ciphertext = (int)pow(plaintext, e) % n;
    int decrypted_text = (int)pow(ciphertext, d) % n;
    printf("明文：%d\n", plaintext);
    printf("密文：%d\n", ciphertext);
    printf("解密后的明文：%d\n", decrypted_text);
    return 0;
}

C++语言实现RSA算法
以下是一个简单的C++语言实现RSA算法的示例代码，使用了C++的标准库以及大数库（例如OpenSSL）来处理大整数运算。
: {" j+ K1 D, N3 V6 ^; b

复制代码
#include <iostream>
#include <openssl/rsa.h>
#include <openssl/pem.h>
int main() {
    // 生成RSA密钥对
    RSA *rsa = RSA_generate_key(2048, RSA_F4, nullptr, nullptr);
    // 明文
    const char *plaintext = "Hello, RSA!";
    // 分配内存来保存密文和解密后的文本
    unsigned char *ciphertext = (unsigned char *)malloc(RSA_size(rsa));
    unsigned char *decrypted_text = (unsigned char *)malloc(RSA_size(rsa));
    // 加密
    int ciphertext_len = RSA_public_encrypt(strlen(plaintext), (const unsigned char *)plaintext, ciphertext, rsa, RSA_PKCS1_PADDING);    
    // 解密
    int decrypted_text_len = RSA_private_decrypt(ciphertext_len, ciphertext, decrypted_text, rsa, RSA_PKCS1_PADDING);
    // 打印结果
    printf("明文：%s\n", plaintext);
    printf("密文：");
    for (int i = 0; i < ciphertext_len; i++) {
        printf("%02X ", ciphertext[i]);
    }
    printf("\n");
    printf("解密后的明文：%s\n", decrypted_text);
    // 释放内存
    RSA_free(rsa);
    free(ciphertext);
    free(decrypted_text);
    return 0;
}

请注意，实际应用中，需要更多的错误处理和安全性考虑。此示例仅用于演示RSA算法的基本原理和实现方法。在实际应用中，建议使用现有的密码库来执行RSA加密。